Основными числовыми характеристиками двумерного распределения случайных величин являются показатели их связи: для линейной регрессии - коэффициент корреляции и корреляционный момент (ковариация); для нелинейной регрессии - корреляционное отношение [2, 44, 75].
Коэффициентом корреляции r между случайными величинами х и у называется математическое ожидание произведения их нормированных отклонений:
где Мх и Му – центры распределения величин х и у, и - их дисперсии. Коэффициент корреляции r может быть представлен в следующей форме:
Величина М(х-Мх)(у-Му) называется корреляционными моментом (ковариацией) – COV (x;y).
Коэффициент корреляции – величина безразмерная с пределами изменения - ± 1. При r =0 линейная связь полностью отсутствует. Знак r (+) или (-) указывает на характер связи (прямая или обратная).
Равенства | r | =1 означает наличие линейной функциональной зависимости между величинами х и у.
Несмещенными и состоятельными оценками математических ожиданий Х= Мх и У=Му служат эмпирические средние значения:
;
Несмещенными и состоятельными оценками дисперсии и служат эмпирические дисперсии:
Несмещенной и состоятельной оценкой корреляционного момента служит эмпирический корреляционный момент (ковариация)
По этим оценкам определяют эмпирический коэффициент корреляции:
который дает состоятельную, но смещенную оценку теоретического коэффициента корреляции r (смещение, при n>50 составляет менее 1%).
Значимость r проверяется путем сравнения величины |r| × с его критическими значениями Н при заданной надежности r . При |r| × > H гипотеза о корреляционной связи подтверждается с надежностью r . Доверительные оценки r сложны и разработаны для случая нормального совместного распределения вероятностей величин X и У. Для приближенных доверительных оценок истинного значения коэффициента корреляции имеются номограммы[322]. Эмпирический коэффициент r может быть оценен оперативно графическим способом [44]. Доверительные интервалы для эмпирического коэффициента корреляции r, при малом количестве наблюдений n позволяет определить следующее преобразование, предложенное Р. Фишером:
Литва
Литва
- до 1991 г. входила в состав Союза ССР как Литовская Советская
Социалистическая Республика. С 1991 г. - независимое государство.
...
Непал
Национальный флаг Непала имеет
вид двух треугольников. Они красного цвета и окантованы синей каймой. На
верхнем изображение серповидной луны с 8 лучами, на нижнем – солнца с 12
лучами. Пять вершин треугольников (одна вершина у них общая) с ...